{ "styles": [ "/assets/min/min.css" ], "scripts": [ "/assets/min/min.js" ] }
ГЛАВНАЯ
О ПРОЕКТЕ
НОВОЕ
СТАТЬИ
АВТОРЫ
ФОРУМ
РЕСУРСЫ
КОНТАКТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИСТОРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ГАРМОНИИ И КРАСОТЫ В ПРИРОДЕ И ИССКУСТВЕ
К вопросу о пропорциях семечек в подсолнухе
Статья находится в стадии доработки. В ближайшее время возможны дополнения и изменения.

 работе [1] была сделана попытка рассмотреть проблему филлотаксиса с помощью геометрического моделирования спиральных решеток. Поиски каких-либо оптимизирующих свойств пропорции золотого сечения тогда не увенчались успехом. Попытаемся посмотреть на геометрическую модель спиральных решеток с иной точки зрения. Попытаемся представить себе, что ромбовидная форма семечек в подсолнухе является производной от прямоугольника, имеющий некие, неопределенные пока, пропорции. Учитывая, что природа выбирает для спиральных структур числа Фибоначчи, можно «с ходу» предположить, что пропорция семечек также близка «золоту». Однако, натурные наблюдения показывают, что это не так. Так, в подсолнухе примерное соотношение между осями семечек, расположенным по разным направлениям, явно не равно «золотой» пропорции и, кроме того, не равно «квадрату» (рис.1).

 

 

001


Зададимся странным вопросом - какова пропорция такой ячейки. Для решения этой задачи попытаемся сделать геометрическое преобразование при котором криволинейная спиральная решетка превратится в прямоугольно-ортогональную решетку. Сделаем такое преобразование в произвольном рисунке (рис.2).

 

0023

 

 

В конечной стадии получаем прямоугольный треугольник, катеты которого разбиты на части, соответствующие количеству спиралей. Гипотенуза такого треугольника представляет собой своеобразную зубчатую линию, которая соответствует краям корзинки подсолнуха (рис.3).

 

 

003

0031

 

Любопытно, что расположение «зубчиков» не является случайным. «Зубчатая» линия набирается из «одинарных» и «двойных» «зубчиков» и их чередование соответствует структуре ветвления чисел Фибоначчи (рис.4).

 

004

 

 

Сделаем предположение, что гипотенуза такого треугольника (преобразованный периметр окружности подсолнуха), состоящего из определенного количества одинаковых прямоугольников должна иметь минимальную длину. По нашим расчетам, если треугольник набирается из прямоугольников со сторонами А и В и, при этом один катет равен А х М а второй катет равен В х N, то минимальная гипотенуза получается в том случае, когда


А/В = sqrt (M/N)


Следовательно, при количестве спиралей 13 к 8, пропорция прямоугольной семечки-ячейки будет равна


А/В = sqrt (13/8) = 1,2747548


(рис.5)

 

0123

 

 

Для подсолнуха, который как правило имеет количество спиралей 55 к 34, пропорция семечки будет равна


А/В = sqrt (55/34) = 1,2718675


Очевидно, что в идеале, при увеличении количества спиралей соотношение M/N будет приближаться к «золотой» пропорции и, следовательно, в пределе, пропорция семечки будет равна sqrt (Ф).

При ином соотношении количества спиралей, пропорция прямоугольной ячейки будет иной. Так, например, при одинаковом количестве спиралей, допустим 14 на 14, пропорция ячейки при минимально возможной гипотенузе будет квадратной


А/В = sqrt (14/14) = 1


А если количество спиралей, допустим составляет 14 и 7, то пропорция ячейки будет равна


А/В = sqrt (14/7) = 1,4142135


Попытаемся определить, почему же все-таки природа выбрала именно такую пропорцию семечки-ячейки, приближающейся к значению sqrt (Ф)? По нашему предположению данный выбор был обусловлен необходимостью осуществления такого действия как возрастание количества спиралей филлотаксиса.
В работе [2] была подробно рассмотрена модель спирального филлотаксиса с квадратными зёрнами (рис.6).

 

 

005

 

Если же попытаться построить подобную геометрическую модель но не с квадратными, а с ромбовидными зернами-семечками-ячейками то получится следующая картина (рис.7). 

 

 

345

 

 

В этом случае видно, что спиральная решетка с количеством спиралей 34 на 21, преломляется и преобразуется в спиральную решетку с количеством спиралей 55 на 34 (рис.8).

 

 

 

 007

 

 

 

При этом, что самое важное, сами ячейки сохраняют геометрическое подобие (рис.9).

 

0081

 

 

 


Если условно преобразовать ячейки в прямоугольники, то получится следующая схема возрастания филлотаксиса (рис.10).

 

 

234

 

 

 

Важно отметить, каждая последующая ячейка подобна предыдущей и стороны каждой последующей ячейки состоят из большего катета и диагонали предыдущей ячейки. Следовательно, определим геометрическую особенность ячейки - диагональ ячейки так относится к ее большей стороне, как большая сторона относится к меньшей. Можно сформулировать и иначе - гипотенуза прямоугольного треугольника так относится к большему катету также как больший катет относится к меньшему катету. Решая, хорошо известную каждому искателю «золота», систему из двух уравнений, получаем следующее решение (рис.11).

 

 

10

 

 

У данной задачи есть только одно решение и, следовательно, природные спиральные структуры могут релизовывать механизм возрастания филлотаксиса только при данной пропорции исходной ячейки - sqrt (Ф). По всей видимости, именно это является причиной появления "золотых" соотношений в спиральных природных объектах.

 

 

 

Дополнение от 20.01.13


Очевидно, что построение спиральных решеток с помощью логарифмичееских спиралей не совсем адекватно отражает реальную решетку в подсолнухах. Более целесообразно строить решетки с использованием спирали Архимеда. В этом случае картину возрастания филлотаксиса можно представить следующим образом (Рис.12).

 

 

0099888

 


 

По всей видимости, полная картина бесконечно возрастающего филлотаксиса может быть построена на базе всего лишь трех спиралей, дающих соотношение из первых чисел Фиббоначчи - 2 к 1.

 

 

Дополнение от 22.01.13


Спираль Архимеда тоже не совсем точно соответствует реальному рисунку спиральных решеток в подсолнухе. По всей видимости, нужно использовать некую кривую, которая "выходит" из малой (внутренней) окружности под прямым углом (ортогонально) и "примыкает" к большой (внешней) окружности по касательной (Рис.13)

 

 

567

 

 

 

Дополнение от 23.01.13


Исходя из схемы спиральных решеток 55х34 (Рис.14)

00112233

 

 

выстроим схему бесконечно возрастающего филлотаксиса (Рис.15).

 

003344

 

 

Дополнение от27.01.13.


Еще один "фантик". На рисунке 16 показана схема перестройки одной спирали (34х21) в другую (55х34), при этом "диагональ" ячейки одной спиральной решетки преобразуется в "сторону" ячейки другой спиральной решетки.

 

033445

 

 

 

Дополнение от 03.02.13


И еще один "фантик". Если основываться на "шариковой" модели укладки ячеек в корзинке подсолнуха то, полагая, что все шарики одинаковы, можно заметить, что происходит постоянная перестройка в кольцевых зонах. Тетрагональная укладка шариков постепенно меняется на гексагональную и наоборот. Данная особенность отлично согласуется с теорией филлотаксиса А.Г.Малыгина. Очевидно, что "укладка""зубчиков" в кольцах будет соответствовать структуре ветвления чисел ряда Фибоначчи (или ряда Люка) в соответствии с рис.4 данной статьи. Вот такая вот растущая кристаллизация получается...

 

 

 

34567

 

 

00003

 

 

5678

 

 

 

9955

 

 

 

Дополнение от 05.02.13.

Еще "фантик". Логику ветвления спиралей в подсолнухе можно смоделировать следующим образом - зона с приближенно гексагональной укладкой ячеек (желтый цвет) дает возможность произвести перестройку с  увеличением количества спиралей. На рисунках видно как малое количество приближенно тетрагонально упакованных спиралей (белый цвет) к переходит большему количеству (голубой и песочный цвет) спиралей.

 

aa1

 

aa2

 

aa3

 

 

7771

 

 

009988

 

 

00998877

 

 


Дополнение от 08.02.13

Ветвление спиралей в подсолнухе аналогично обычной структуре ветвленияч чисел ряда Фибоначчи (или ряда Люка).

 

4441

 

 

4442

 

334422

 

3344221

 

 

Длины окружностей и их радиусы соотносятся в "золоте"

112244

 

 

Дополнение от 10.02.13

Модель подсолнуха представляет собой сложный набор спиральных решеток из которых составляются чередующиеся колецевые зоны с приближенно-тетрагональными и приближенно-гексагональными структурами. В приближенно-тетрагональных зонах решетка «набирается» из N правых и М левых спиралей (допустим, что М больше N). При переходе через приближенно-гексагональную зону происходит перестройка спиральной решетки - М левых спиралей переходят в следующую приближенно-тетрагональную зону без изменений, а количество правых спиралей представляет собой сумму M+N. Отсюда следует, что количество спиралей возрастает аналогично аддитивным числовым рядам (каждый последующий член равен сумме двух предыдущих). Таких рядов бесконечно много. Однако, для сохранения подобия спиральных ячеек в тетрагональных зонах, должно соблюдать следующее условие


(M+N)/M = M/N


т.е. в таком аддитивном ряду каждый член ряда должен соотносится с младшим так, как старший соотносится с ним самим. А этому условию, как известно, приближенно соответствуют два аддитивных ряда - ряд Фибоначчи и ряд Люка. Использование именно этих рядов дает возможность природе осуществлять возрастание количества спиралей (возрастание филлотаксиса) с сохранением подобия спиральных ячеек. 

 

 

 

Дополнение от 12.02.13

 

Люди работают в данном направлении - http://journals.iucr.org/a/issues/2012/04/00/eo5015/eo5015fig12.html

 

http://arxiv.org/pdf/1201.1432v2.pdf


Добавление от 12.02.13

 

f01

 

f02

f03

 

Дополнение от 16.02.13.

Появилась возможность строить заполение корзинки подсолнуха в автокаде:

 

00002

 

 

Дополнения от19.02.13


Загружаю новые иллюстрации. Интерпретация будет позднее..

 

170201

 

 

170202

 

1702095

 

170203

 

 

 

170205

 

1702091

 

170206

 

170207

 

170208

 

 

170209

 

Вот отсюда получается угол дивергенции семян - 137,5 градусов. Если полный отрезок (выпрямленную длину окружности) разделить на меньшую часть (6,854/2,618) то получим 2,618.  Аналогично 360 градусов делим на 137,5 градусов, получаем 2,618

 

1702093

 

1702094

 

А вот так получается сбой при котором угол дивергенции становится равным 99,5 градусам и спирали в подсолнухе выстраиваются по ряду Люка.

 

1702097

 

1702099

 

17020991

 

Дополнение от 21.02.13.


Нашел способ экспериментального выбора оптимального угла заполнения площади круга одинаковыми кружочками меньшего радиуса. Минимальная площадь пустот между кружочками рассматривается как критерий оптимального заполнения.

998877

Малое значение площади при угле дивергенции в 100 градусов говорит о его близости углу в 99,5 градуса. А минимальная площадь как и ожидалось получается при угле конвергенции в 137,5 градусов.

Любопытно, что точный угол в 99,5015528 градуса дает чуть-чуть меньшую площадь пустот, чем "правильный" угол в 137,507764 градуса. Следовательно получается, что он чуть-чуть оптимальнее по сравнению с другими "золотыми" углами.

99887755

 

 

 

Дополнение от 24.02.13

Полученная структура ветвления имеет такую визуально наблюдаемую особенность - ширина всех "коридоров" "лабиринта" постоянна (см.рис.)

 

r5

С увеличением радиуса окружности "подсолнуха", происходит 2 процесса:

1. увеличение количества "коридоров" (в местах перегибов);

2. постепенный поворот оси коридора от "радиального" положения к "кольцевому".

 

 

Добавление от 24.02.13.


И все-таки угол дивергенции семян в 137,507763 градуса дает более плотную упаковку корзинки подсолнуха, чем угол 99,5015528 градусов. Разница микроскопическая, но она есть.

 

r8

 

 

 

Дополнение от 03.03.3


К вопросу о логике построения спиралей подсолнуха.

 

RR34

Природа использует только самый "широкий" участок между двумя соседними спиралями Ферма.

RR33

 

 

 

Дополнение от 08.03.13

Аналогия между линейными и круговыми величинами...

mart003

 

mart001

 

mart002

 

 

 

Дополнение от 09.03.13

Поиск симметрии возрастающего филлотаксиса показал, что деление круга на 9 равных частей может дать весьма точную "раскладку" подобных элементов.

 

mart03

mart04

 

 

mart05

Девятка получается как результат деления золота в шестой степени на два (17,94427/2=8,97214). Второй столбец таблицы представляет собой ряд удвоенных чисел Фибоначчи.

 

Дополнение от 04.08.13

 

Опосредованно мы получаем задачу на заполнение круга группами тождественных фигур (четырехугольников).  Получается некая круговая симметрия...

 

0123456

 

234567

 

 

 

 

Дополнение от 27.05.2014

 

Укладка круга "золотым паркетом"

 

101

 

102

 

 

008

 

 

44

 

 

31.05.14. Укладка плиток паркета. Одна сторона плиток равна единице. Другая сторона плиток возрастает по рядe чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и.т.д. Получается укладка в числах Фибоначчи. Фактически это сектор подсолнуха. 

 

9988776655

 

Раскладка семечек, трансформированная из круговой в прямоугольную.

 

8899

 

Данная модель позволяет подсчитать количество семян в корзинке.

(55х34)/2 = 935

Каждый новый "виток" увеличивает количество семян в золотой пропорции.

((55х34)/2 - (34х21)/2) / (34х21)/2) = (935-357)/357 = 578/357 = 1,619..

 

 

 

Литература:

 

1. Радзюкевич А.В. Метод геометрического построения спиральных решеток.

 

http://www.a3d.ru/architecture/stat/5

 

2. Щетников А.И. Проблемы филлотаксиса. http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/Phyllotaxis.pdf

 

 

 

 

Дата выставления: 17.01.2013
Комменарии:
Пожалуйста, зарегистрируйтесь, чтобы оставлять сообщения. Если вы уже зарегистрированы на этом сайте, просто войдите под своим именем.
Вы вошли на сайт как
Текст сообщения:
Отправить комментарий
ГЛАВНАЯ О ПРОЕКТЕ НОВОЕ СТАТЬИ АВТОРЫ ФОРУМ РЕСУРСЫ КОНТАКТЫ